Théorème central limite - Math'φsics

Théorème central limite

Formulaire de report
Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent
Théorème central limite :
\((X_n)_{n\in\Bbb N}\) est une suite de v.a.i.i.d

\(\forall n\in{\Bbb N},X_n\in L^2\)

$$\Huge\iff$$

$$\begin{align}\frac1{\sqrt n}\Big(X_1+\dots+X_n-n{\Bbb E}[X_1]\Big)&\underset{n\to+\infty}\overset{(\text{loi})}\longrightarrow\mathcal N(0,\sigma^2)\quad\text{ avec }\quad\sigma^2=\operatorname{Var}(X_1)\\ \sqrt n\Big(\overline{X_n}-{\Bbb E}[X_1]\Big)&\underset{n\to+\infty}\overset{(\text{loi})}\longrightarrow\mathcal N(0,\operatorname{Var}(X_1))\end{align}$$

de manière équivalente, \(\forall-\infty\leqslant a\lt b\leqslant+\infty\), $${\Bbb P}\Big(X_1+\dots+X_n\in\Big[n{\Bbb E}[X_1]+a\sqrt n,n{\Bbb E}[X_1]+b\sqrt n\Big]\Big){\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}\int^b_a\frac1{\sigma\sqrt{2\pi} }e^{-x^2/2\sigma^2}\,dx$$
Démontrer \((*)\implies(**)\) :

On suppose que les v.a. Sont centrées.

En supposant \((*)\), le Théorème du porte-manteau donne ce que l'on cherche, puisque \([a,b]\) est borélien.

Démontrer \((*)\) :

On suppose que les v.a. Sont centrées.

On va utiliser le Théorème de Lévy \(\to\) go calculer la Fonction caractéristique.

On va approximer cette Fonction caractéristique via un Développement limité.

On a donc bien la convergence, ce qui nous permet de conclure.

Cas vectoriel
Théorème central limite vectoriel :
\((X_n)_{n\in\Bbb N}\) est une suite de v.a.i.i.d dans \({\Bbb R}^d\)

on a \({\Bbb E}[\lvert X_1\rvert^2]\lt +\infty\)

$$\Huge\iff$$

$$\sqrt n\Big(\overline{X_n}-{\Bbb E}[X_1]\Big)\underset{n\to+\infty}\overset{(\text{loi})}\longrightarrow\mathcal N_d(0,K_{X_1})$$
Démontrer :

On suppose que les v.a. Sont centrées.

On s'intéresse aux produits des \(X_i\) par \(\xi\in{\Bbb R}^d\).

On peut leur appliquer le Théorème central limite standard.

Cela nous donne une convergence, qui nous permet de conclure via le Théorème de Lévy.
Rétroliens :
- Théorème central limite